非線型な系の線型化

非線型な系の線型化

非線型な系(これを(1)とします):

の臨界点P_0(0,0) の種類や安定性は、ほとんどの場合、この系をP_0の近くで「線型化」することによって決定することができます。

線型化は、上の系を:

と書き、h(y)を無くすことによって、行います。

具体的には次のようになります。

P_0は臨界点であるので、f_1(0,0)=0 , f_2(0,0) =0 です。だから、f_1とf_2は両方とも定数項を持たず:

と書けます(カッコの中はベクトルを使わないで表した場合)。

(これを(2)とします)

自励系なので、Aはtに依存していません。

そして次のことが成り立ちます(証明は割愛):
もし非線型な系 f_1とf_2 (この記事の一番上の式で出てくる)が連続で、P_0 : (0,0)の近傍で連続な偏導関数を持ち、(2)のAの行列式が0でないならば、(1)の臨界点の安定性の種類は線型化された系:

のそれと同じになる。

(上の系を(3)とする)。

ただし、Aが相異ならない固有値を持つ場合や、純虚数の固有値を持つ場合は例外が起こります。(1)は、(3)と同じ臨界点の種類になるか、もしくは((1)は)spiral pointを持ちます。
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