安定性

安定性 あんていせい Stability

臨界点は「安定性」によっても分類することができます。

まず、直感的な説明をします。

定数係数である線型な方程式系

のある瞬間における、臨界点P_0の近くにあるすべての解軌道が、その未来の時間においてP_0の近くにあり続けるのであれば、臨界点P_0は「安定である(stable)」と言います。

正確には次のようになります。

半径ε>0、中心P_0 の全ての円板(disk)D_εに対し、次の条件を満たす半径δ、中心P_0の円板D_δが存在するとき、P_0は安定であると言う。

条件:
D_δの中にP_1(例えば、t=t_1に対応しているとします)を持つすべての軌道が、D_εの中にt≧t_1に対応するすべての点を持つ。

図で考えると:

となります。P_1から始まる軌道が半径εの円板の中に留まっている、ということです。


P_0が安定でないとき、「不安定である」と言います。


P_0が安定であり、かつ、D_δの中に点を持つ全ての軌道が、t→∞のとき、P_0に近づくならば、P_0は「吸収的安定である(Stable and attractive)」または「漸近安定である(asymptotically stable)」といいます。

図で考えると:

という感じです。
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