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固有値を利用した臨界点の分類

固有値を利用した臨界点の分類

臨界点と固有値がどのように関係しているかを見ていきます。

固有値とは、特性方程式:

の解、λ=λ_1, λ=λ_2 のことです。

これは、2次方程式:
λ^2 -pλ+q = 0
のことです。

ただし:
p=a_11+a_22,
q=det A = a_11a_22 - a_12 a_21,
Δ=p^2 - 4q (判別式)
です。

この2次方程式の解は:
λ_1 = 1/2(p+√Δ),
λ_2 = 1/2(p-√Δ)
です。

さらに、解λ_1, λ_2を使って2次方程式を因数分解すれば:
λ^2 -pλ+q = (λ-λ_1)(λ-λ_2) = λ^2-(λ_1+λ_2)λ+λ_1λ_2
です。

係数を比較すれば:

です。


どのように導出されるかは次の記事で見ますが、固有値を利用して臨界点を次のように分類できます。

(1) Node
q >0, Δ≧0, λ_1,λ_2 は実数であり、同符号

(2) Saddle point
q <0 , λ_1,λ_2は実数であり、異符号

(3) Center
p =0, q>0, λ_1,λ_2は純虚数

(4) Spiral point
p≠0, Δ≦0, λ_1,λ_2は複素数(ただし純虚数ではない)
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