Spiral point

Spiral point

「Spiral point」とは、その点の周りで、各軌道が、t→∞でその点に近づくとき(または遠ざかるとき)、渦を巻くような臨界点を指します。


例えば方程式系:

を考えます。

この一般解は:

となります。

この複素数解から、オイラーの公式を使って実解を得ることもできますが(前回の記事参照)、ここでも別のやり方で考えていきます。

まず、もとの方程式系は:

です。

1つ目の方程式全体にy_1を掛けたものと、2つ目の方程式全体にy_2を掛けたものを、辺辺足し合わせると:

という式が得られます。

ここで、極座標 r,t を導入します。ただし:

です。

上の式をtについて微分すると:

となります。

これは:

と書き表すことができます。

これより:

が導けます。

各実数cに対して、これは渦巻線を表します(より詳しく言うと、対数螺旋(たいすうらせん)と呼ばれるものです)。

解軌道は:





という感じになります(手書きなのでうまく描けていませんが…)。

0がspiral pointです。
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