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重ね合わせの原理(微分方程式系の解)

重ね合わせの原理(微分方程式系の解) Superposition principle; Linearity principle

次の重ね合わせの原理が成り立ちます。


もし、y^(1)y^(2)(下に注あり)が斉次な線型微分方程式系
y'Ay
のある区間における解であるならば、それらの任意の線型結合:
y = c_1 y^(1) + c_1 y^(2)
もまた解である。


注意点として、ここでは、y^(1)y^(2)の右上に乗っかっている数字は「微分したもの」を意味するのではなく、「1つ目の解、2つ目の解」を意味します。


証明:

以下のように証明できます:




y'Ay と y = c_1 y^(1) + c_1 y^(2) が利用されています)
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