微分方程式系について

微分方程式系について

前の記事で出てきた1階の方程式系は、より一般的な:

という1階の微分方程式系の特別な場合、ということができます。

この方程式系は列ベクトル:
y = [y_1 … y_n]^T ,
f = [f_1 … y_n]^T
を使うことにより:

と表すこともできます。

n=1 のとき、これは:
y_1’= f_1(t,y_1)
もしくはより単純に書いて:
y’ = f(t,y)
となり、このカテゴリーの最初の記事で考えていたようなものになります。


この方程式系のある区間a<t<b における解とは、a<t<b のいたる所で方程式系を満たすn個の微分可能な関数:

の組になります。

ベクトルの形式では、解ベクトル
h = [h_1 … h_2]^T
を使うことにより:

と表すことができます。


上の微分方程式系の初期値問題とは、微分方程式系とn個の初期条件:

で構成されます。ただし、t_0 は問題の区間におけるある特定の値、K_1, …, K_n は定数たちです。


初期値問題の解の存在と一意性に関して、次の定理が成り立ちます(証明は省略):

ty_1y_2…y_n-空間において、点(t_0, K_1, …K_n)を含むある定義域Rで、f_1, …, f_n が連続、そしてその偏導関数
(∂f_1)/(∂y_1), …(∂f_1)/(∂y_n), …, (∂f_n)/(∂y_n)
も連続であるならば、方程式系:

は、ある区間 t_0-α<t<t+α において初期条件:

を満たす解を持つ。そしてこの解はただ1つである。
関連記事

コメントの投稿

非公開コメント

main_line
main_line
プロフィール

batmitzvah

Author:batmitzvah

最新記事
最新コメント
最新トラックバック
月別アーカイブ
カテゴリ
カウンター
検索フォーム
RSSリンクの表示
リンク
QRコード
QR