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オイラーの公式の導出

オイラーの公式の導出

指数関数e^x のテイラー展開において、xを複素変数zに置き換えた

によって複素数zに対してe^z を定義することができます。


この冪級数はzが実数のときに収束することを私たちは知っていますから、前の記事の収束の3つの可能性のうち、(ⅱ)の場合でなければならず、したがtってすべての複素数zで絶対収束します。

上の冪級数で z=ix とおけば:

となります(絶対収束しているので、足し算の順序を変えてもよいです)。

sin x とcos x のテイラー展開を使えば、上の式は:
e^(ix) = cos x+ i sin x
と書けます。これはオイラーの公式と呼ばれます。


また、任意の複素数zは極座標(r, θ) を使って
z = r (cosθ+i sinθ)
と書けるので:
z = r e^(iθ)
と書くこともできます。
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