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収束半径

収束半径 しゅうそくはんけい Radius of convergence

複素冪級数

が z_0≠a で収束すれば R=|z_0-a|とおくとき、この冪級数は|z-a|<R で絶対収束しますが、逆にz_0≠a で発散すれば、
|z-a|>R の各点で発散します。なぜなら、|z_1-a|> R となる1点 z_1 で収束するとしたら、|z-a|<|z_1-a|となるようなすべての点zで収束するということになり、|z_0-a|<|z_1-a|だから z_0 でも収束してしまい矛盾だからです。

以上より、上の複素冪級数に関しては次の3つの場合が考えられます。


(ⅰ) z=a 以外では発散する

(ⅱ) すべてのz (|z-a|<∞) で絶対収束する

(ⅲ) ある R>0 が存在し、|z-a|<R で絶対収束、|z-a|>R で発散する


複素冪級数の収束半径は:

(ⅰ)の場合、0
(ⅱ)の場合、∞
(ⅲ)の場合、R

であると言います。
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