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ライプニッツの公式

ライプニッツの公式 Leibniz formula for π

tan(4/π) = 1 だから、tan^(-1) x のテイラー展開で、x=1 とすれば:

となります。

これは、ライプニッツの公式と呼ばれます。πの近似値の計算に用いられました。

「グレゴリー・ライプニッツの公式」や「マーダヴァ・ライプニッツの公式」などとも呼ばれます。


しかし、tan^(-1) x のテイラー展開で保証されているのは|x|<1 の範囲だけなので、tan^(-1) x のテイラー展開がx=1でも成り立つことを新たに示す必要があります。

を0からxまで積分すると(上のは有限個の和です):

です。

ここでx=1 とおけば:

となります。

ここで、n→∞とすればライプニッツの公式が得られます。
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