関数項級数の収束・積分・微分に関する定理を冪級数に応用するために必要な定理

関数項級数の収束・積分・微分に関する定理を冪級数に応用するために必要な定理

定理:

冪級数

が x=x_1(≠a) で収束すると仮定し、R = |x_1-a| とおく。そのとき:

は 区間|x-a|< R で広義一様収束する。


証明:

仮定より:

が収束するから、以前紹介した定理(の系)より、
n→∞ のとき c_n (x_1 -a)^n → 0
となります。

したがって、十分大きな数 K をとれば、すべてのkに対して:

が成り立っています。

区間 |x-a|< R (すなわち、a-R < x < a+R) に含まれるすべての閉区間は、
a-r_1 ≦ x ≦ a+r_2 (r_1, r_2 < R)
の形をしているので、r_1, r_2 の大きい方を r とすれば、この閉区間は
a-r ≦ x ≦ a+r (すなわち、|x-a|≦ r)
に含まれます。

したがって、上の定理を証明するには:

が |x-a|≦ r < R で一様収束することを示せばよいです。

以前紹介した級数の収束判定法によれば、これは:

を示せばよいです。

上で紹介していた不等式の全体に (r/R)^k を掛ければ:

となります。

したがって、再び吸収の収束判定法の知識を用いれば:

が収束することを示せばよいです。

この級数は、|(r/R)|< 1 であることから、

に収束します。

以上で証明は終わりです。
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