関数項級数に関する定理 その2(項別積分)

関数項級数に関する定理 その2(項別積分)

定理:

有限区間 I で連続な関数列 u_1(x), u_2(x), u_3(x), …から成る関数項級数:

が I で関数 s(x) に一様収束しているとする。

I の1点c を選び:

と定義する。

そのとき、s(x)も連続で、関数項級数:

は関数

に一様収束する。


証明:


また、

とおきます。

有限和に対しては、各関数の定義から:

が成り立ちます。

関数項級数の一様収束の定義により、{s_n(x)}はs(x)に一様収束しているから、以前紹介した定理により、{S_n(x)}はS(x)に一様収束します。

これは:

がS(x)に一様収束することにほかなりません。


上のことは、一様収束している関数項級数の積分は、項別に積分(項別積分)すればよい、と表されます。
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