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関数列の微分

関数列の微分

関数列の微分の場合、関数列の積分の場合ほど単純な話ではなくなります。

具体的には、次の定理が成り立ちます。


定理:

{f_n}を有限区間 I で連続な関数列で:

(ⅰ) 各f_n は1回微分可能で、微分f'_n も連続
(ⅱ) 各点 x∈I で {f_n(x)}はf(x) に収束(各点ごとの収束)
( ⅲ) {f'_n}はI でgに一様収束

の全ての条件を満たすとする。

そのとき、g は連続、fは1回微分可能で f' = g, そして{f_n}はf に一様収束する。


証明:

まず、(ⅰ)と(ⅲ) から、前に紹介した定理により、gは連続です。


次に f' = g を証明します。

c∈I を1つ固定すると、微積分学の基本定理により:

です。

{f'_n}がg に一様収束しているので(条件(ⅲ))、関数列の積分の記事で紹介した定理により:



に収束します。

すなわち、関数列 {f_n(x)-f_n(c)}は:

に収束します。

一方、(ⅱ)により:

なので:

です。

この両辺を微分すれば、g(x) = f'(x) です。


最後に、{f_n}がfに収束することを示します。




から

が成り立ちます。

有限区間 I の長さを l(エル)とし、任意のε>0 に対し十分大きなNをとって、すべてのn≧N に対し:



が成り立つようにします。

すると:

となります。

以上で証明は終了です。
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