関数列の広義一様収束

関数列の広義一様収束

区間 I で定義された連続関数の列 {f_n}が、I に含まれる任意の閉区間 a’≦x≦b’において関数fに一様収束するとき、「Iで広義一様収束(こうぎいちようしゅうそく)する」といいます。

広義一様収束というものを考えるのは、区間が閉区間でない場合には「区間全域で各点収束する」という、一様収束の条件が実用上強すぎであり、不便だからです。

区間 I が閉区間であれば、一様収束も広義一様収束も同じことです。

一般には、広義一様収束しても一様収束するとは限りません。


広義一様収束の概念を用いると、前の記事の定理を拡張することができます。具体的には、前の記事の定理の「…関数 f に一様収束するならば」という部分を「…関数 f に広義一様収束するならば」と言い換えることができます。


証明:

任意の点 x_0∈I で f (f_nが広義一様収束する関数) が連続であることを示せばよいです(そうすればfは連続であるということですから)。

x_0 を含み、I に含まれるようなすべての閉区間をとれば、前の記事の定理により、{f_n}はfに一様収束します。

したがって、fはx_0で連続です。
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