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関数列の一様収束

関数列の一様収束

任意のε>0 に対し、十分大きなNをとれば、すべての n≧N, そしてすべての x∈I に対して、
|f_n (x) - f(x)|< ε
が成り立つとき、区間 I において{f_n} は「f に一様収束する」といいます。

各点収束ではNはεとxの両方に依存しますが、一様収束においては「Iの全ての点xに共通して使えるNが存在する」(小林昭七の著書より引用)、というのがポイントになります。

次の定理が成り立ちます。


定理:

ある区間 I で連続な関数列 f_1, f_2, f_3, … が関数 f に一様収束するならば、f も連続である。


証明:

ε>0 が与えられたとする。

十分大きなNをとれば、すべてのx∈I とすべての n≧N に対し:
|f_n (x) - f(x)|< ε/3
が成り立つ。

(一様収束の定義の、εをε/3 に代えました。)

f_N が I の任意の点x_0 で連続だから、十分小さい δ>0 をとれば、|x - x_0|<δ となる x に対し:
|f_N (x) - f(x_0)|< ε/3
が成り立ちます。

(連続の定義より。)

以上より、|x - x_0|<δ ならば:

となる。


以上で、区間 I の任意の点 x_0 で f が連続であることを証明できました。
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