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関数列の収束

関数列の収束

ある区間 I で定義された連続関数の列 f_1, f_2, f_3, …(このようなものを関数列といいます。数列は数の列、関数列は関数の列です)が各点 x で収束するとき、すなわち、 lim(n→∞) f_n (x) が存在するとき、関数列 {f_n(x)}は「点ごとに収束する」といいます。

各点xで収束するとは、εを用いれば、次のようになります。

与えられた点xと、任意の正数εに対し、Nが存在して、(そのxで) n≧N に対し:
|f_n (x) - f(x)|< ε
が成り立つ、ということです。


そのとき:
f(x) = lim(n→∞) f_n (x)
で定義される関数fは、連続とは限りません。
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