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非斉次なn階線型微分方程式

非斉次なn階線型微分方程式

非斉次なn階線型微分方程式とは:

という微分方程式のことです。ただし、右辺の r(x) は恒等的に0でないとします。


非斉次な2階線型微分方程式のときと同様、上の微分方程式の、開区間 I における一般解は:

となります。ここで、y_h(x) = c_1y_1(x) + … + c_ny_n(x) は、もとの微分方程式に対応する、斉次な微分方程式:

の I における一般解になります。また、y_p(x) は、もとの微分方程式の I における、任意定数を含まない解(任意の特殊解)になります。

もし、もとの微分方程式の係数とr(x) が I において連続であるならば、もとの微分方程式には一般解が必ず存在し、すべての解を含みます(したがって、特異解がありません)。
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