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特性方程式が実数の重解を持つ場合

特性方程式が実数の重解を持つ場合

もし特性多項式が、重複度m の実数解λを持つ場合(=λがm重解である場合)、問題の微分方程式の、それに対応する線型独立なm個の解は:

となります。

(m=2 の場合は以前の記事で見ています)


上記の解の導出は、次のようになります。

問題の微分方程式の左辺を次のように置きます:

ここで、y=e^(λx) とします。上の式に代入し、右辺の微分を行うことにより:

という式を得ます。

ここで、λ_1 を右辺の多項式の重複度mの根だとします(m≦nです)。

m < n のとき、λ_(m+1), …, λ_n を他の根とします(これらは全てλ_1 とは違う値です)。

右辺の多項式を積の形に書き直すと:

となります。ただし、h(λ)は、
m=n ならば h(λ)=1、
mです。

ここで、両辺をλに関して微分すると:

となります。
(h(λ)e^(λx) を一まとまりと考え、積の微分の公式を使います)

右辺は、λ=λ_1 のとき0になります。

また、xに関する微分とλに関する微分はそれぞれに独立しており、それらの導関数は連続であるので、左辺は次のように順序を交換できます:

以上より:

が成り立ちます。

これは、xe^(λ_1 x) が、問題の微分方程式の解であることを示しています。


上の手順(λに関する微分)を繰り返すと、他に m-2個の解:
x^2 e^(λ_1 x), …, x^(m-1) e^(λ_1 x)
を得ます。

ここまで来たときに、さらにもう一度微分しようとすると、(λ-λ_1) の部分は、(λ-λ_1)^0 となります。また、それが入っている項は:
m! × (λ-λ_1)^0 × h(λ)× e^(λx)
となります。

ここで、h(λ_1) ≠ 0 です( h(λ)には、(λ-λ_1) という式が現れないからです)。また、この項の他の部分も0になりません。

したがって:

という解を得ます。そして、これ以外の解はありません。


最後に:

たちが線型独立であることを証明します。

具体的なnに関しては、これらのロンスキー行列式を計算すれば、それらが0にならないので、線型独立性を示すことができます。

具体的な値を離れ、一般的に考えると次のようになります。任意のmに対しては、ロンスキー行列式から、e^(λmx) をくくりだします。そして、行列式の中身を変形します。

こうすると、e^(λmx) × W(1, x, …, x^(m-1) ) とできます。

W(1, x, …, x^(m-1) ) = 1!2! … (m-1)!
であり、0にはなりません。

以上より、線型独立性が証明できたことになります。
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