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特性方程式が異なるn個の実数解を持つ場合

特性方程式が異なるn個の実数解を持つ場合

特性方程式:

が n個の異なる実数解 λ_1, …, λ_n を持つ場合、問題の微分方程式のn個の解:

は、全てのxに関して、基底を成します。

問題の微分方程式の一般解は:

となります。


上で出てきた y_1, …, y_n の線型独立性は、次のようにして示すことができます。

これらのロンスキー行列式は、E = exp [(λ_1+…+λ_n) x] として、次のように変形できます:

ここで、E は決して0にはなりません。

したがって、右辺の行列式が0であることが、W=0 であることの必要十分条件になります。

(この行列式は、ファンデルモンドの行列式という行列式の一種であり、また、コーシーの行列式という行列式の一種でもあります)。


上の行列式は:

と等しいことが知られています。

ただし、Vは、全ての λ_j - λ_k (j < k (≦n) ) の積になります。例えば n=3 ならば:
(-1)^3 V = -V = -(λ_1 -λ_2) (λ_1 - λ_3) (λ_2 - λ_3)
となります。

これにより、ロンスキー行列式が0にならないのは、特製方程式のn個の解がすべて異なるときであり、また、そのときに限ることが示されました。


定理としてまとめると:

の解:

(λ_j は実数でも虚数でも構いません)
が任意の開区間で解の基底を成すことの必要十分条件は、特性方程式:

のn個の解が全て異なることである。


上の定理は、次のより一般的な定理の特別な場合です。


の、e^(λx)の形をしている解たちが、(その形をしているものが何個であっても)、開区間 I で線型独立であることの必要十分条件は、対応するλがすべて異なっていることである。
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