一般解は全ての解を含む(特異解はない)(n階の場合)

一般解は全ての解を含む(特異解はない)(n階の場合)

次の定理が成り立ちます。

斉次なn階線型微分方程式:

が、ある開区間 I で連続な係数 p_0(x), …, p_(n-1)(x) を持つならば、問題の微分方程式の全ての解(=解の一つ一つ) y= Y(x) は:
Y(x) = C_1y_1(x) + … + C_ny_n(x)
の形をしている。

ただし、y_1, …, y_n は問題の微分方程式の解の基底であり、C_1, …, C_n は適切な定数である。


証明:

Y をある解、y = c_1y_1 + … + c_ny_n を一般解とします。

I 内の任意の固定された点 x_0 を選べば、y とそれらの導関数が、YとYの導関数に一致するような定数c_1, …, c_n を見つけることができることをこれから示していきます。

上の問題はすなわち、x=x_0 において:

を満たす c_1, …, c_n を見つける、ということです。

これらの式は c_1, …, c_n を未知数とする線型方程式系と考えることができます。

それらの係数行列式は、x_0 における y_1, …, y_n のロンスキー行列式です。y_1, …, y_n は基底を成していますから線型独立であり、Wは0ではない、と言えます。

したがって、クラーメルの定理により、上の線型方程式系は唯一の解:
c_1 = C_1, …, c_n = C_n
を持ちます。

これらの値を用いて、I における特殊解:
y^* (x) = C_1y_1(x) + … + C_ny_n(x)
を得ます。

上の線型方程式系より、y^* とその導関数は、Yとその導関数に一致します。すなわち、y^* と Yは、x_0 において、同じ初期条件を満たします。解の一意性の定理により、I において、y^* ≡ Y が成り立ちます。

以上により、証明ができました。
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