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一般解の存在性(n階の場合)

一般解の存在性(n階の場合)

次の定理が成り立ちます。

斉次なn階線型微分方程式:

の係数 p_0(x), …, p_(n-1)(x) がある開区間 I において連続であるならば、問題の微分方程式は、I において一般解を持つ。


証明:

I 内の任意の固定されたx_0 を考えます。

以前紹介した定理により、問題の微分方程式は、「y_j は K_(j-1) = 1, かつ他のK は全て0、という初期条件を満たす」ような、n個の解 y_1, …, y_n を持ちます。

それらの解のロンスキー行列式は必ず1になります。例えば、n=3 ならば:

といった具合です。

したがって、任意のnに対して、それらの解 y_1,…,y_n はI において線型独立です。

定理により、それらの解は I において基底を成しますから、
y=c_1y_1 + … + c_ny_n
は、問題の微分方程式の I における一般解です。
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