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定数変化法の説明

定数変化法の説明

ひとつ前の記事で、定数変化法における公式:

を紹介しました。この記事では、この公式の導出を説明します。



の開区間I における一般解:
y_h(x) = c_1y_1(x) + c_2y_2(x)
の、定数c_1, c_2 を、u(x), v(x) で置き換えます。

置き換えた後の:
y_p(x) = u(x)y_1(x) + v(x)y_2(x)
が、

の特殊解になるように、u(x), v(x) を決定する、というのが最終的な目標になります。

以前紹介した定理より、I においてp, q が連続なので、一般解y_h が存在することは保証されています。)


y_p(x) = u(x)y_1(x) + v(x)y_2(x)
を微分すると:
y_p’= u’y_1 + uy_1’ + v’y_2 + vy_2’
となります。


ここで、u と vは、もう1つの条件(1つの条件は、y_p が問題の微分方程式を満たす、ということです):
u’y_1 +  v’y_2 = 0
を満たす、と仮定します。

これにより:
y_p’ = uy_1’+ vy_2’
となります。

これをさらに微分すると:
y_p’’= u’y_1’ + uy_1’’ + v’y_2’ + vy_2’’
となります。

以上のことを、問題の微分方程式に代入し(y_p は問題の微分方程式を満たすはずです)、整理すると:

となります。

ここで、y_1 と y_2 は:

の解であることから:
u’y_1’+ v’y_2’ = r
という式を得られます。


u’y_1’+ v’y_2’ = r
u’y_1 + v’y_2 = 0
という連立方程式を解いていくと:
u’(y_1y_2’-y_2y_1’) = -y_2r
v’(y_1y_2’-y_2y_1’) =  y_1r
という2式が得られます。

ここで、y_1とy_2のロンスキー行列式 W = y_1y_2’-y_2y_1’ を用いると:
u’W = -y_2r
v’W =  y_1r
となります。

以前紹介した定理により、W≠0 なので(y_1とy_2は基底をなしているので、線型独立です)、両辺をWで割ります。

そうすると:
u’ = -y_2r/W
v’ =  y_1r/W
となります。

よって両辺を積分し:

を得ます(rが連続なのでこれらの積分は存在します)。

これらを
y_p(x) = u(x)y_1(x) + v(x)y_2(x)
に代入すれば公式が得られます。
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