水素原子の軌道半径

水素原子の軌道半径

水素原子内で、電子が水素原子核の周りを軌道半径 r [m] で等速円運動していると仮定します。

負電荷である電子は正電荷である原子核から引力である静電気力を受けます。その大きさは、クーロンの法則より:

となります。

k_0 は、クーロンの法則の真空中の比例定数です。eは電子の電気量の大きさです。電子の電気量は-e であり、原子は電気的に中立ですから、原子核の電気量は+e になります(大きさだけを考えるので符号は無視します)。

この静電気力が、等速円運動の向心力になります。

したがって、電子の運動方程式は:

となります。


量子条件の式より、電子の速度vは:
v = (nh)/(2πmr) (n=1, 2, 3 …)
と表すことができます。

これを上の運動方程式に代入し、整理すると、n 番目の定常状態が取る軌道半径 r_n [m] は:



となります。

この式から、n番目の定常状態は、決まった軌道半径の値を持ち、また、nが大きくなるにつれて軌道半径が大きくなっていくことがわかります。


上の式で n=1 としたもの、すなわち r_1 の値はボーア半径(Bohr radius)と呼ばれます。

ボーア半径は、実際の水素原子の大きさとほぼ一致します。
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