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RLC直列回路

RLC直列回路 あーるえるしーちょくれつかいろ Series RLC circuit

抵抗値 R [Ω] の抵抗、自己インダクタンス L [H] のコイル、電気容量 C [F] のコンデンサーを直列に接続した回路を考えます。この回路は、RLC直列回路と呼ばれます:



この回路に角周波数ωの交流電圧Vを加えたときに流れる電流を I = I_0 sinωt とします。

交流電圧Vはどのように表されるかを考えていきます。


抵抗の両端の電圧を V_R [V] とすると、オームの法則より:
V_R = RI = RI_0 sinωt
と表せます。


コンデンサーの両端の電圧を V_C [V] とすると、V_C はI に対して位相がπ/2遅れ、コンデンサーの容量性リアクタンスは1/(ωC) であるから:

と表すことができます。

(1段目から2段目の変形では、「sin(ωt-π/2)= -cosωt」が利用されています。)


コイルの両端の電圧を V_L [V] とすると、V_L はI に対して位相がπ/2進み、コイルの誘導性リアクタンスはωLであるから:

と表すことができます。

(1段目から2段目の変形では、「sin(θ+π/2)=cosθ」が利用されています。)


交流電源の電圧 V [V] は:
V = V_R + V_C + V_L
です。

したがって:

とできます。

{ }の中は、「a sinθ+b cosθ」の形になっているので、三角関数の合成を行うと(I_0はおいておき、{}の中だけ考えます):

となります。

ただし、αは、sin(ωt+α)の係数の部分をZとすると:

を満たす角です。

数Ⅱでは上のようなやり方でαを定義しましたが、これは、αは:

を満たす角である、と言っても同じことです。


以上より、Vは:

と表されます。

sin(ωt+α)=1 のとき、Vは最大になります。この値、すなわち振幅をV_0 とすると:
V_0 =Z I_0
が成り立ちます。

これより、Zは、交流回路における抵抗に相当する量だとわかります。このZを、交流回路のインピーダンス(Electrical impedance)といいます。

インピーダンスの単位には、通常の抵抗と同じくオーム[Ω] を用います。

VとIの間には、αだけ位相のずれがありますが、実効値の間には:
V_e =Z I_e
が成り立ちます。

したがって、Zは:

と表すこともできます。
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