コンデンサーに交流電圧を加える

コンデンサーに交流電圧を加える

最大値(振幅)V_0 [V]、角周波数ω [rad/s] の交流電圧 V=V_0 sinωt を、電気容量C [F] のコンデンサーに加えます:

交流電圧Vが加えられているとき、コンデンサーに蓄えられている電気量をQ [C] とします。

コンデンサーにおける電圧降下(極板間の電位差)V_Cは:
V_C = Q/C
です。

キルヒホッフの第2法則より、電源の起電力Vとコンデンサーの電圧降下は等しくなります。

すなわち、V=V_C が成り立つので:
V_0 sinωt = Q/C
となります。

これを変形すれば:
Q = CV_0 sinωt
です。

コンデンサーに流れ込む電流I を考えると、まず、電流の定義より:
I = ΔQ/Δt
であり、これに上のことを代入すれば:

となります。

Δsinωt というのは:
Δsinωt = sinω(t+Δt)-sinωt
を意味します。

右辺の1つ目の項は、sin(ωt+ωΔt)です。

これに加法定理「sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ」を利用すれば:
Δsinωt = sinωt cosωΔt + cosωt sinωΔt -sinωt
となります。

Δtが十分小さいとき、「cosωΔt≒1」、「sinωΔt≒ωΔt」が成り立つので、これを上の式に代入すると:
Δsinωt ≒ ωΔt cosωt
となります。

Δsinωt = ωΔt cosωt とみなして、上のIの式に代入すれば:
I = ωCV_0 cosωt
です。

「sin(θ+π/2)=cosθ」という関係があるので:
I = ωCV_0 sin(ωt+π/2)
となります。

まとめると、コンデンサーに流れる電流は:

と表すことができます。


上の式より、「コンデンサーに流れる交流電流は、加えられた交流電圧に対して位相がπ/2 だけ進んでいる」と言えます。

(振幅を無視すると、sin(ωt+π/2)のグラフは、sin(ωt)のグラフを、横軸(t軸)方向に-π/2 だけ平行移動したものです。Iのグラフに山が来たπ/2 後に、Vのグラフに山が来るわけなので、「進んでいる」ということができます)


I_0 = ωCV_0 という式とオームの法則の式 I = V/R を比較すると、「1/(ωC)」は抵抗に相当する量だということがわかります。

この「1/(ωC)」を「コイルの容量性リアクタンス(Capacitive reactance)」といいます。容量リアクタンスとも呼ばれます。

容量性リアクタンスの単位には、抵抗と同じく、オーム [Ω] を用います。容量性リアクタンスの値が大きいほど電流は流れにくくなります。

交流電圧の角周波数ωが大きいほど、また、コンデンサーの電気容量Cが大きいほど、容量性リアクタンスは小さくなります。
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