コイルに交流電圧を加える

コイルに交流電圧を加える

最大値(振幅)V_0 [V]、角周波数ω [rad/s] の交流電圧 V=V_0 sinωt を、自己インダクタンスL [H] のコイルに加えます:

このとき流れる電流が:
I = I_0 sin(ωt+φ)
という時間変化をするとします。

「φ(ファイの小文字)」は「位相差」と呼ばれる量で、電圧と電流の位相がどれくらい違っているのかを示してくれます。ちなみに、抵抗に交流電圧を加えた場合はφ=0 です。


コイルに生じる誘導起電力V_L は:

と表すことができます。

Δsin(ωt+φ)というのは:
Δsin(ωt+φ)= sin{ω(t+Δt)+φ}- sin(ωt+φ)
を意味します。

右辺の1つ目の項を展開し、足し算の順番を変えると sin{(ωt+φ}+ωΔt}となります。

この部分に加法定理「sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ」を利用すると(α=ωt+φ)、β=ωΔt と考えます):
Δsin(ωt+φ)
= sin(ωt+φ)cosωΔt + cos(ωt+φ)sinωΔt - sin(ωt+φ)
となります。

ここで、以前の記事でも同じことを考えましたが、Δtが十分小さいとき、「cosωΔt≒1」、「sinωΔt≒ωΔt」が成り立つので、これを上の式に代入すると:
Δsin(ωt+φ) ≒ ωΔt cos(ωt+φ)
と近似できます。

Δsin(ωt+φ) = ωΔt cos(ωt+φ) とみなして、これをV_L の式に代入すると:
V_L = -ωLI_0 cos(ωt+φ)
となります。

sin(θ+π/2)=cosθ」という関係があるので:
V_L = -ωLI_0 sin(ωt+φ+π/2)
と変形できます。


キルヒホッフの第2法則より、電源の交流電圧Vと、コイルに生じる誘導起電力V_L の和は0であるので(V_Lは、電流を流そうとするVと逆向きです):
V+V_L=0
すなわち:
V=V_L
です。

よって、各時刻(各瞬間)で:
V_0 sinωt = ωLI_0 sin(ωt+φ+π/2)
が成り立ちます。

両辺を比較すると、「V_0 = ωLI_0」、「φ=-π/2」です。

これを、「I=I_0 sin(ωt+φ)」に代入すれば、コイルに流れる電流は:

と表すできることがわかります。


上の式より、「コイルを流れる交流電流は、加えられた交流電圧に対して位相がπ/2 だけ遅れている」と言えます。

(振幅を無視すると、sin(ωt-π/2)のグラフは、sin(ωt)のグラフを、横軸(t軸)方向に+π/2 だけ平行移動したものです。Vのグラフに山が来たπ/2 後に、Iのグラフに山が来るわけなので、「遅れている」ということができます)


I_0 = V_0/(ωL) という式とオームの法則の式を比較すると、「ωL」は抵抗に相当する量だということがわかります。

この「ωL」を「コイルの誘導性リアクタンス(Inductive reactance)」といいます。誘導リアクタンスとも呼ばれます。

誘導性リアクタンスの単位には、抵抗と同じく、オーム [Ω] を用います。誘導性リアクタンスの値が大きいほど電流は流れにくくなります。

交流電圧の角周波数ωが大きいほど、また、コイルの自己インダクタンスLが大きいほど、誘導性リアクタンスは大きくなります。
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