外部抵抗において電力を最大にする

外部抵抗において電力を最大にする

起電力E、内部抵抗rの電池に、抵抗値がRの抵抗器が接続されているとします:


このようなときの抵抗器を、内部抵抗との対比で、外部抵抗と呼びます。

Rの値がいくつのときに、外部抵抗における電力が最大になるかを考えてみます。


この回路では:
E=(R+r) I
が成り立ちます。

よって:
I=E/(R+r)
です。

外部抵抗に加わる電圧は、電池の端子電圧Vに等しく、V=RI より:
V=(RE)/(R+r)
です。

よって、外部抵抗における電力Pは、P=VI より:

と変形していけます。

ここで、分母に関して、(a+b)^2= a^2+2ab+b^2 = (a-b)^2 +4ab
であることを利用すると:

と表すことができます。

Pが最大になるのは、これの分母が最小になるときです。

分母が最小になるのは、√R - r/√R =0 になるときであり、この両辺に√R を掛ければ:
R-r=0
です。

すなわち、R=r のときに電力が最大になります。


以上より、外部抵抗Rの値を内部抵抗rに一致させれば、外部抵抗における最大電力を取り出すことができ、その最大電力は:
E^2/4r
になります。
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