コンデンサーに蓄えられるエネルギー

コンデンサーに蓄えられるエネルギー

充電されたコンデンサーに抵抗や豆電球をつなぐと電流が流れます(コンデンサーの放電)。

これはすなわち、コンデンサーが電荷に対して仕事をした(電荷を移動させた)わけですから、コンデンサーにはエネルギーが蓄えられていたと考えることができます。

(このエネルギーのことを「静電エネルギー」と呼ぶこともあります)

このエネルギーU[J] はどのように表すことができるかを考えてみます。


コンデンサーに蓄えられるエネルギーは、コンデンサーが放電するときにする仕事と等しいです。

(教科書によっては、今から紹介する考えとは違い、コンデンサーを充電するのに必要な仕事を考えることによりコンデンサーに蓄えられるエネルギーを求めます。求め方の違いであって、結果は一致します)

極板間の電圧をV[V]、1つの極板の電気量をQ[C] 、コンデンサーの電気容量をC[F] とします。

(「V=Q/C」ですから、VとQは比例関係にあります)。

コンデンサーが放電するとき、回路のスイッチを入れた瞬間の電位差はVであり、このとき電荷Δq が流れるとします:


(Δqが流れている間、電位差はVのままであると仮定します)

この間に、コンデンサーがする仕事は、「V×Δq」で求めることができます。すなわち、緑色の長方形の面積がコンデンサーがする仕事です。

電流が流れ始めると、電位差は少し下がります。その下がった電位差でΔqの電荷が流れるとすると、その間にする仕事は:

図の水色の長方形の面積になります。

放電が進むにつれ、電位差はだんだん下がっていきます。上の作業を電位差が0になるまで続けていき、最後に全ての長方形の面積を足せば、それがコンデンサーが放電においてする仕事になります。

この長方形の和は、Δqの値をだんだんと0に近づけていくと、下図のピンクの三角形の面積に等しくなります(数学の積分の考え方です):



以上より、コンデンサーに蓄えられるエネルギーUは:
U=(1/2)QV
となります。

ここで、「Q=CV」という関係を利用すれば、上の式は:
U=(1/2)CV^2
とも書けるし:
U=(1/2)Q^2/C
とも書けることがわかります。


まとめ:

電気容量C[F] のコンデンサーにQ[C] の電荷が蓄えられ、極板間の電位差がV[V] であるとき、コンデンサーに蓄えられているエネルギーU[J]は:

となります。
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