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音源が動く場合のドップラー効果

音源が動く場合のドップラー効果

音源が動き、観測者が静止している場合を考えます。

音源が観測者に近づいてくる場合音は高く聞こえ、音源が観測者から遠ざかる場合音は低く聞こえます。このことを式で確認します。


音源の振動数をf[Hz]、観測者へ向かう向きを正として、音源の速度をv_s[m/s] とします。

(添え字に「s」を使うのは、「源」という意味の「source」の頭文字だと思われます)

音の速さをV[m/s] とします。音速は、音源が運動していても常に一定です。

まず、音源が静止していて、t秒間音波を出しているとします。また、音源と観測者がVt[m] 離れているとします。このとき、音源と観測者の間にはft個の波があると考えることができます:

右端の黒線が観測者の位置です。

(1波長分の波を1個の波と考えると、1秒間にf個の波を出していると考えることができます。よって、Vt[m]の距離の間には、f×t 個の波が入っていると考えることができます)

次に、音源が速度v_sで観測者に近づいているとすると:


となります。この場合も、音源と観測者の間にはft個の波があります(この、波の個数は変わらないということに注意してください)。

ここで、1つの波の長さ、すなわち、波長は「音源と観測者の距離÷その間にある波の個数」で求めることができますから(例えば、「9mの間に波が3個あった。1つの波の長さは9÷3=3mだ」という考えです)、観測者が聞く波長をλ’として:

となります。2段目への変形は、tを約分しました。

ここで、波の関係式「v=fλ」を使うと、観測者が聞く振動数をf’として:
f’=V/λ’
が成り立ちます。

この式のλ’に上の式を代入すれば:

という式が得られます。

これが、音源が動き、観測者が静止している場合のドップラー効果を表す式です。


音源が観測者に近づく場合、v_s>0 なので、V/(V-v_s) の部分が1より大きくなります。よって、f’>f となり、観測者には音は高く聞こえます。

音源が観測者から離れる場合も上の式で表すことができます。その場合、v_s<0 なので、V/(V-v_s) の部分が1より小さくなります。よって、f’<f となり、観測者には音は低く聞こえます。
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