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波を表す式

波を表す式

単振動をする波源から、x軸の正の向きに速さv[m/s] で伝わる波は、どういう式で表すことができるのかを考えます。

波源を原点(x=0)とし、振幅A[m]、周期T[s] で単振動しているとします。また、時刻t=0 における変位を0 とします。

このとき、時刻tの波源の変位y[m]は:

と表すことができます。

(角速度ωを使わずに、ω=2π/T を利用して、2π/Tの方を使っています)。

(右辺は、「A」と、「(2π/T)t のサイン」の積になっています)


次に、位置xでの時刻tにおける媒質の変位を考えます。

位置xの媒質の振動は、波源(x=0)の位置に比べて、時間x/v だけ遅れます。

(「時間=道のり/速さ」を利用してx/v という式が出てきました)。

これはすなわち、「時刻tにおけるxの媒質の変位は、時刻(t-x/v)における波源の変位に等しい」ということです。

したがって、上で見た、波源の変位の式のtを(t-x/v)に置き換えた式:

が、時刻tにおける位置xの媒質の変位を表します。

(2段目の式は、1段目の式の1/T を分配しました)


波源が1回振動する時間、すなわち、周期Tの間に、波は1波長λ[m] 進むので、「速さ=道のり/時間」を利用すれば:
v=λ/T
が成り立ちます。

(単振動の周期がTならば波の周期もTであり、単振動の振幅がAならば波の振幅もAになります)

これを上の式の2段目に代入すると:

という式が得られます。

右辺をわかりやすくすると:

です。Aと、緑で囲った式のサインの積、を右辺は表しています。


この式から、波源が単振動するとき、どの時刻においても波形は正弦曲線になるということがわかります。

波形が正弦曲線である波は、「正弦波(せいげんは)」と呼ばれます。
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