中点連結定理の証明

中点連結定理の証明

三角形ABCにおいて、辺ABの中点をM、辺ACの中点をCとします:

MN=NDとなるような点Dを取ります:

ここで:
∠ANM=∠CND (対頂角)
AN=CN (仮定より)
MN=DN (仮定より)
なので、△ANM≡△CND と言えます(2辺とその間の角が等しい)。

合同な三角形において対応する角の大きさは等しいので:
∠AMN=∠CDN
です。

したがって、錯覚が等しいので、直線BMと直線CDは平行になります。


また、合同な三角形において対応する辺の長さは等しいので:
AM=CD
です。

最初の仮定より、AM=BMですので:
BM=CD
です。


直線BMと直線CDが平行であり、BM=CD なので、四角形MBCDは平行四辺形だと言えます。


四角形MBCDが平行四辺形なので、直線MDと直線BCは平行になります。すなわち、「MNとBCは平行:だと言えます(中点連結定理の内容の1つ)。

また、MN=NDなので、MD=2MN です。ここで、四角形MBCDは平行四辺形なので、MD=BC です。

MD=2MN にMD=BC を代入すれば:
BC=2MN
になります(中点連結定理の残りの内容)。
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