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単振動のエネルギー

単振動のエネルギー

水平ばね振り子が単振動しているときの、おもりがもつ力学的エネルギーE[J] を考えます。

Eは、おもりの運動エネルギーと弾性力による位置エネルギーの和になります。

すなわち、おもりの質量をm[kg]、ばねの自然長からの伸びをx[m]、ばね定数をk[N/m] とすると:

となります。


今:
v=Aωcosωt
x=Asinωt
K=mω^2
を代入して整理していくと(ただし、Kはkに置き換えます):

となります。

三角関数の性質として、「sin^2 θ+cos^2 θ=1」が成り立つので、「sin^2 ωt+ cos^2 ωt=1」です。よって:

となります。

ここで、ω=2πf を代入すると:

という式が得られます。


この式は、おもりの力学的エネルギーが振幅Aの2乗と振動数fの2乗に比例し、また、常に一定であることを示しています。

このことは、水平ばね振り子だけでなく、単振動する物体において一般に成り立ちます。
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