単振り子

単振り子 たんふりこ Simple pendulum

糸の一端におもりを付け、他端を天井につるして、おもりを鉛直面内で左右に振らせるものを「単振り子」といいます:

糸と鉛直方向がなす角をθ[rad] とします。

θが十分に小さいとき、おもりの運動は近似的に一直線上での往復運動、すなわち単振動と見なすことができます。このことを確認してみます。


糸の長さをl[m]、おもりの質量をm[kg] とします。糸の質量は無視できるとします。おもりが最下点に来たときの位置をOとします。

おもりの、O点からの円弧に沿った変位をx[m] とします。

重力加速度をg[m/s^2] とすると、おもりに働く力は、糸の張力S[N]と、重力mg[N]の2つです:

ただ、張力Sはおもりの運動方向に常に垂直でありおもりに対して仕事をしません。おもりをOの点へ引き戻す働きをするのは、円弧の接線方向に分解された重力になります:

赤線のF_x が、円弧の接線方向に分解された重力です。


F_x は以下の部分の角がθであることから:

F_x = -mg sinθ
と表せます(右向きを正としているので、マイナスの符号がついています)。

ここで、x(Oから円弧に沿った変位)は、「x=lθ」で表されます(弧の長さだからです)。よって、「θ=x/l」となります。

前の記事で見た通り、θが十分に小さいとき、「sinθ≒θ」ですから、「sinθ≒x/l」です。

「sinθ=x/l」とみなせば:
F_x=-mg(x/l)
すなわち:

となります。

F_x が変位xに比例していることが上の式からわかりますが、これは、F_xが復元力となり、おもりが単振動していることに他なりません。

(おもりの揺れが大きく、θが十分に小さくないと、単振り子の運動は単振動ではなくなります)。


この場合の単振動の周期T[s] を考えます。

復元力の変位に対する比例定数Kが、ここでは、K=mg/l ということですから:

となります。

この式は、単振り子の単振動の周期は、糸の長さと重力加速度だけで決まり、おもりの質量や振幅は関係ないことを示しています。このことを、「振り子の等時性(とうじせい)」といいます。

(振り子の等時性が保たれるのは、あくまでθが十分に小さく、単振り子の運動が単振動とみなせるときに限ります)
関連記事

コメントの投稿

非公開コメント

main_line
main_line
プロフィール

batmitzvah

Author:batmitzvah

最新記事
最新コメント
最新トラックバック
月別アーカイブ
カテゴリ
カウンター
検索フォーム
RSSリンクの表示
リンク
QRコード
QR