θが十分小さいとき、sinθ≒θが成り立つ

θが十分小さいとき、sinθ≒θが成り立つ

次の記事で「単振り子(たんふりこ)」というものを紹介します。単振り子の理解には、「θが十分小さいとき、sinθ≒θが成り立つ」という知識が必要ですので、その事実をまずこの記事で確認します。


単位円を考えます(半径が1でない円で考えていっても同様の結果が得られます):

まず、ピンク色の弧の長さを考えます。扇形の弧の長さは、円の半径をrとすれば「」という式で求めることができます。単位円の場合r=1 ですから、ピンク色の弧の長さは「θ」になります。

次に、緑色の線の長さを考えます。「sinθ=緑色の線/半径」であり、半径=1 ですから、緑色の線の長さは「sinθ」になります。

今、θを小さくしていけば、ピンク色の弧と緑色の線の長さは、ほぼ同じになっていきます:

したがって、「θが十分小さいとき、sinθ≒θ」が成り立ちます。


ちなみに、数Ⅲでは「θ→0 のとき(sinθ)/ θ→1」という公式を学びます。言っていることは、上のことと同じです。分数が1に近づくというのは、分母と分子が同じ値に近づいていくことに他ならないからです。
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