鉛直ばね振り子

鉛直ばね振り子 えんちょくばねふりこ

天井にばねの一端を固定し、もう一端におもりをつけたものは、鉛直ばね振り子といいます。


ばねのばね定数をk{N/m]、おもりの質量をm[kg] とします。また、ばねの質量は無視できるものとします。

水平ばね振り子のときと違い、ばねの自然長の長さとおもりをつけたつり合いの位置が一致していません:

緑色の線がばねが自然長、それよりx_0[m] 伸びてつり合っているとします。

(つり合いの位置を原点O、下向きをx方向の正の向きとします)。

つり合っているので、重力加速度をg[m/s^2] とすると:
mg=kx_0
が成り立ちます。

左辺は重力の大きさ、右辺はばねの弾性力です。


ばねをつり合いの位置からさらに下方に伸ばして手を離す、ということを考えます。このとき、原点Oからの変位をx[m] とすれば、上向きに弾性力k(x_0+x)、下向きに重力mg がおもりに働きます:

(緑色の線は自然長の長さ、x_0は自然長からつり合いの位置までの伸びです)。

したがって、おもりに働く合力は:
F=mg-k(x_0+x)
となります。

展開すると:
F=mg-kx_0-kx
です。

ここで、mg=kx_0 でしたから、mg-kx_0=0、すなわち:
F=-kx
となります。


これは、水平ばね振り子のときのおもりに働く力の式とまったく同じ式です。

したがって、鉛直ばね振り子のおもりも単振動をします。

また、周期Tも水平ばね振り子のときとまったく同じで:

という式で求めることができます。
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