万有引力による位置エネルギー

万有引力による位置エネルギー

重力などと同様、万有引力も保存力の一種です。すなわち、万有引力がする仕事は経路に関係なく、仕事前と仕事後の物体の2点の位置だけで決まります。

よって、万有引力も位置エネルギーを考えることができます。


位置エネルギーの復習をします。

物体が点Pから、基準点であるP_0 まで移動するときに保存力がする仕事を、点P_0 を基準点とした点Pにおける物体の位置エネルギーといいます。

例えば、重力による位置エネルギーは、地上を基準点とすると、物体の高さをh[m] として、mgh という式で求めることができました。


重力による位置エネルギーを考えるときには、普通、地表付近で考えました。その際、物体に働く重力mg は一定であると考えました。

万有引力による位置エネルギーを考えるときには、普通、万有引力の大きさが変化するような広い範囲で考えます(物体が人工衛星だったり、惑星だったりする場合を考えます)。

したがって、万有引力による位置エネルギーを考える際には、無限遠(むげんえん)の点を基準点に考えるのが普通です。「無限遠の点」というのは、「無限に遠い点」という、仮想の点のことです。


質量がそれぞれM[kg]、m[kg] である2つの物体A、Bを考えます。(Aは、地球をイメージしてくれると良いです)。

2つの物体間の距離をr[m] とします。また、Gを万有引力定数とします。

このとき、物体Bが持つ万有引力による位置エネルギーU[J]は、無限遠の点を基準点として:

という式で求めることができます。

(この式の厳密な証明には大学レベルの数学の知識が必要です。ただ、高校生でも数Ⅱの積分の知識があれば大まかな証明の感じはわかります)。

物体Bをその位置から、無限遠の点まで移動する際には、万有引力の向きとは逆向きに移動させます。すなわち、万有引力がする仕事は負であるので、万有引力による位置エネルギーの値も負になることに注意してください。

物体BがAに近いほどこの位置エネルギーは小さくなり、物体BがAに遠いほど位置エネルギーは大きくなります。

(また、万有引力による位置エネルギーの式は、万有引力の大きさを求める式と違い、分母はrであり、r^2ではないので注意してください)。


質量m[kg]の物体が、質量M[kg]の物体からの万有引力だけを受けて運動している場合、力学的エネルギー保存則が成り立ちます。

質量mの物体の速さをv[m/s]、2物体間の距離をr[m]、万有引力定数をGとすれば:

が成り立つ、ということです。
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