等速円運動における加速度

等速円運動における加速度

等速円運動においては、速度の大きさ(=速さ)は一定ですが、速度の向きは常に変化しています。

この速度の向きは、常に円の接線方向になることが知られています:

P_1にあった物体がΔt秒後に、P_2にあったとします。角速度をω[rad/s]とすれば、∠P_1OP_2はωΔt[rad] です:

今、P_1、P_2における速度ベクトルをv_1、v_2とすると、その2つのベクトルの始点を合わせて2つのベクトルのなす角を考えると、その角もωΔt になります:

速度変化Δv=v_2-v_1 です。

Δt間の平均の加速度ベクトルは:

と表せますが、Δtを小さくしていくと、Δvの大きさは、v_1とv_2を動径とする扇形の弧の長さとほぼ同じとなりますから:

(緑色のベクトルの長さは青色の弧とほとんど同じになっていきます)

すなわち:
Δvの大きさ≒vωΔt
と表すことができます(「弧の長さ=半径×(ラジアンで表した)角の大きさ」です)。

Δtが非常に小さいとき:
Δvの大きさ=vωΔt
と考えて、加速度の大きさを考えれば:

となります。

以前の記事より、「v=rω」ですから、これを代入すれば:

という関係式が得られます。

(v=rωより、ω=v/r です)。


加速度の向きは、物体の位置から円の中心に向かう向きになります(したがって、この加速度のことを「向心加速度(こうしんかそくど)」と呼ぶこともあります)。
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