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四角形が円に内接する必要十分条件

四角形が円に内接する必要十分条件

複素数平面上で、4点A(α)、B(β)、C(γ)、D(δ) を頂点とする四角形が円に内接する条件を考えます。

(ちなみに、「γ」は「ガンマ」、「δ」は「デルタ」です)

(i)
A、B、C、Dがこの順で同一円周上にあるとき、すなわち:

という場合を考えます。

このとき、同じ弧の円周角ですから、∠ACB=∠ADBが成り立ちます。

∠ACB=arg((β-γ)/(α-γ)) であり、∠ADB=arg((β-δ/α-δ)) です。

よって:
arg((β-γ)/(α-γ))=arg((β-δ/α-δ))
です。

移項すると:
arg((β-γ)/(α-γ))- arg((β-δ/α-δ))  =0
です。

左辺は、複素数の商の知識より変形ができますから:

と言えます。

この複素数の極形式を考えれば、r(cos0+isin0) であり、iが消えます。よって、この複素数は実数です。


(ⅱ)
A、C、B、Dがこの順で同一円周上にあるとき、すなわち:

という場合を考えます。

円に内接する四角形の性質より:
∠ACB+∠BDA=π
が成り立ちます。

∠ACB=arg((β-γ)/(α-γ)) であり、∠ADB=arg((α-δ/β-δ)) です。

よって:
arg((β-γ)/(α-γ))+arg((α-δ/β-δ))  =±π
とできます。

(偏角は向きまで考えますので、2つの偏角の和が-πでも良いです。)

複素数の積の知識より左辺を変形すると:

とできます。

掛け算は割り算に出来ますから:

とできます(こうすると、左辺が(ⅰ)のときの左辺と同じになります)。

この複素数の極形式を考えれば、r(cosπ+isinπ) であり、iが消えます。よって、この複素数は実数です。


(ⅰ)、(ⅱ)より、A、B、C、Dを頂点とする四角形が円に内接するとき、{(β-γ)/(α-γ)}÷{(β-δ/α-δ)} は実数です。

逆に、{(β-γ)/(α-γ)}÷{(β-δ/α-δ)} が実数であるとき、2つの円周角が等しい、または対角の和がπであると言えますから、A、B、C、Dを頂点とする四角形は円に内接します。


以上より、4点A(α)、B(β)、C(γ)、D(δ) を頂点とする四角形が円に内接する必要十分条件は:

が実数であること、になります。
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