2直線が垂直に交わるとき

2直線が垂直に交わるとき

異なる3点P(z_1)、Q(z_2)、R(z_3)において、∠QPR=arg{(z_3-z_1)/(z_2-z_1)} をθとします。

商(z_3-z_1)/(z_2-z_1) も1つの複素数ですから、極形式で:
(z_3-z_1)/(z_2-z_1) = r(cosθ+i sinθ) (0≦θ<2π)
と表すことができます。


2直線PQ、PRが垂直に交わる場合、∠QPR=π/2、または、∠QPR=(3/2)π です:

r(cosθ+i sinθ) という式を考えたとき、cos(π/2)=0、cos((3/2)π)=0 ですから、実部が消えます。

よって、(z_3-z_1)/(z_2-z_1) は純虚数になります。


また、逆も成り立ちます。すなわち、(z_3-z_1)/(z_2-z_1) が純虚数であるならば、2直線PQ、PRが垂直に交わります。
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