アポロニウスの円

アポロニウスの円

アポロニウスの円に関しては数Ⅱで学びました。複素数平面上でもアポロニウスの円について考えることができます。


例:

複素数平面上で、2点A(i)、B(-i)からの距離の比が2:1であるような点P(z)全体の表す図形を求めよ。


解答:

条件より、AP:BP=2:1 です。比例式の性質より、これは、AP=2BP です。

APやBPは、複素数平面上の2点間の距離ですから:
AP=│z-i│、
BP=│z+i│
です。

AP=2BP の両辺を2乗すると:
AP^2=2^2 BP^2、 すなわち
AP^2=4 BP^2
です。

AP=│z-i│、BP=│z+i│ を代入すれば:
│z-i│^2 = 4│z+i│^2
です。

複素数の絶対値の性質を利用して:

となります。

次に、共役な複素数の性質を利用して:

とできます。

両辺とも展開し、整理すると(zとz ̄は別物であることに注意して下さい):

となります。

両辺を-3で割ると:

となります。

左辺は次のように変形できます:


左辺の-25/9 を移項し、共役な複素数の性質を利用すれば:

となります。

左辺は絶対値の性質を利用すれば:

となります。

絶対値は0以上ですから:

という式を得ます。


したがって、点P全体の表す図形は、中心が-(5/3)i、半径が4/3 の円です。
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