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複素数平面上の円の方程式

複素数平面上の円の方程式

複素数平面上で、点C(α)を中心とする半径rの円を考えます:


この円周上の任意の点P(z)は、必ず:
CP=r
という式を満たします。

CP=│z-α│ と表すことができます。

よって:
│z-α│=r
というのが、点C(α)を中心とする半径rの円の方程式になります。


特に、原点Oが中心の円の場合、α=0 ということですから、その方程式は:
│z│=r
となります。


上の複素数平面上での円の方程式から、座標平面上での円の方程式を導くことが出来ます。

α=a+bi、z=x+yi と置くと、z-α= (x-a)+(y-b)i となります。

よって:
│z-α│= │(x-a)+(y-b)i│ =  √{(x-a)^2+(y-b)^2} となります。

(注:z=a+bi のとき、│z│=√(a^2+b^2) でした。)

│z-α│=r の両辺を2乗したものを考え、左辺には上のことを代入すると:
(x-a)^2+(y-b)^2 = r^2
となり、座標平面上での円の方程式が得られます。
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