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複素数平面上の内分点と外分点

複素数平面上の内分点と外分点

複素数平面上の2点A、Bを表す複素数を、それぞれα、βとし、α=a_1+b_1i、β=a_2+b_2i  とします。

線分ABを m:n に内分する点をPとします。Pを表す複素数を z=a+bi とします。




aは、数直線上の線分a_1a_2 をm:nに内分しているので:
a=(na_1+ma_2)/(m+n)。

bは、数直線上の線分b_1b_2をm:nに内分しているので:
b=(nb_1+mb_2)/(m+n)。

これらを、z=a+bi に代入して整理すると:
z= {n(a_1+b_1i)+m(a_2+b_2i)} / (m+n)

a_1+b_1i =α、a_2+b_2i =β ですので:
z=(nα+mβ)/(m+n)
となります。

すなわち、座標平面上の内分点・外分点の公式と同様の公式を得ることができます。


外分の場合も上と同様に考えることができます。

2点A(α)、B(β)を結ぶ線分ABをm:nの比に外分する点P(z)は:
z=(-nα+mβ)/(m-n)
となります。
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