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複素数のn乗根

複素数のn乗根

nを自然数とし、z^n=α を満たす複素数zを、αのn乗根といいます。


[例]

次の方程式を解きなさい
z^3=i


[解答]

z=r (cosθ+i sinθ) とおきます。

左辺=z^3={r (cosθ+i sinθ)}^3 = r^3 (cosθ+i sinθ)^3 =r^3 (cos3θ+i sin3θ)

右辺=i ={ cos(π/2)+i sin(π/2)}

すなわち:
r^3 (cos3θ+i sin3θ) = { cos(π/2)+i sin(π/2)} 
です。

両辺を比較し:
r^3 =1,
3θ=(π/2)+2π×k (kは整数)

rは0より大きい実数ですので、r=1 です。
また、θ=(π/6)+(2/3)π×k です。

これより、z= cos{(π/6)+(2/3)π×k}+i sin{(π/6)+(2/3)π×k}) となります。

0≦θ<2π より、0≦(π/6)+(2/3)π×k <2π、これをkについて解くと、0≦k<11/4 。よって、k=0, 1, 2。

これを上のzの式に代入していくと、
cos(π/6) + i sin(π/6) =√3/2 +(1/2)i ,
cos(5/6)π+ i sin(5/6)π=-√3/2 +(1/2)i ,
cos(3/2)π+i sin(3/2)π=-i
です。

これらが、iの3乗根になります。複素数平面上に、上の3つの複素数を図示すると:

となります。
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