複素数の商

複素数の商

2つの複素数を:
z_1=r_1(cosθ_1+isinθ_1),
z_2=r_2(cosθ_2+isinθ_2)
とします。

このとき、これらの商は:

と表すことができます。

そして、その商の絶対値、偏角について:
│z_1/z_2│=│z_1│/│z_2│,
arg(z_1/z_2) = arg z_1 - arg z_2
が成り立ちます。


上のことの証明:

z_1/z_2
= {r_1(cosθ_1+isinθ_1)}/{r_2(cosθ_2+isinθ_2)}

分母の実数化を行います。具体的には、右辺に(cosθ_2-isinθ_2)/(cosθ_2-isinθ_2) を掛けます(これは1を掛けるのと同じことです)。

分母には、cos^2 θ_2+sin^2 θ_2 という式が現れますが、これは三角関数の性質より、1です。

分子は一旦展開して整理します。そして、三角関数の加法定理:
cos(α-β) = cosαcosβ+sinαsinβ,
sin(α-β) = sinαcosβ-cosαsinβ
を利用すると(右辺から左辺の変形をすると)、証明したかった式を得ます。


z_1/z_2 = r_1/r_2 {cos(θ_1-θ_2)+i sin(θ_1-θ_2)} です。

であり、右辺は、r(cosθ+isinθ) の形になっています。このrが絶対値、θが偏角であるので:
│z_1/z_2│ = r_1/r_2 ,
arg (z_1/z_2) = θ_1-θ_2
です。

r_1=│z_1│、r_2=│z_2│、θ_1=arg z_1、θ_2=arg z_2  であるので:

│z_1/z_2│=│z_1│/│z_2│,
arg(z_1/z_2) = arg z_1 - arg z_2

です。
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