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複素数の積

複素数の積

2つの複素数を:
z_1=r_1(cosθ_1+isinθ_1),
z_2=r_2(cosθ_2+isinθ_2)
とします。

このとき、これらの積は:

と表すことができます。

そして、その積の絶対値、偏角について:
│z_1z_2│=│z_1││z_2│,
arg(z_1z_2) = arg z_1 + arg z_2
が成り立ちます。


上のことの証明:

z_1z_2
= r_1(cosθ_1+isinθ_1) r_2(cosθ_2+isinθ_2)

掛け算の順番を変えて:
r_1r_2 (cosθ_1+isinθ_1)(cosθ_2+isinθ_2)

2つのかっこの部分に分配法則を使うと:
r_1r_2 (cosθ_1 cosθ_2 +icosθ_1 sinθ_2 + isinθ_1 cosθ_2 + i^2 sinθ_1 sinθ_2)

かっこの中を整理すると:
r_1r_2 {(cosθ_1 cosθ_2 - sinθ_1 sinθ_2) + i (sinθ_1 cosθ_2 +cosθ_1 sinθ_2) }

ここで、三角関数の加法定理:
cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ,
sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ

を利用すると(右辺から左辺の変形をすると):

r_1r_2 {(cos(θ_1+θ_2)+i sin(θ_1+θ_2)}
となります。これは証明したかった式です。


z_1z_2 = r_1r_2 {(cos(θ_1+θ_2)+i sin(θ_1+θ_2)}

であり、右辺は、r(cosθ+isinθ) の形になっています。このrが絶対値、θが偏角であるので:
│z_1z_2│=r_1 r_2,
arg(z_1z_2) = θ_1+θ_2
です。

r_1=│z_1│、r_2=│z_2│、θ_1=arg z_1、θ_2=arg z_2  であるので:

│z_1z_2│=│z_1││z_2│,
arg(z_1z_2) = arg z_1 + arg z_2

です。
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