複素平面上でのzとz ̄の位置関係

複素平面上でのzとz ̄の位置関係

複素数z=a+bi を考えます。この複素数を複素数平面上に図示すると、点(a, b) を表します。

また、zと共役な複素数z ̄=a-bi は、複素平面上では点(a, -b)を表します。これより、点zと点z ̄は、実軸に関して線対称な位置にあることがわかります。

次に、-zを考えます。-z=-(a+bi)=-a-bi ですから、点(-a, -b)を表します。これより、点zと点-zは、原点に関して点対称な位置にあることがわかります。

そして、-zと-z ̄は、実軸に関して線対称な位置にあります(上で述べた知識です)。すなわち、点zと点-z ̄は、虚軸に関して線対称な位置にあります。

図に表すと:

となります。


次のことが言えます。

zが実数 ⇔ z ̄=z  (zが実数ならば、点zは実軸上にあります)
zが純虚数 ⇔ z ̄=-z かつ z≠0  (zが純虚数ならば、点zは虚軸上にあります)
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