tとθの関係の別の証明(2倍角の公式などを利用)

tとθの関係の別の証明(2倍角の公式などを利用)

tan(θ/2) = t (t≠±1) のとき、次の関係式が成り立つことを、三角関数の2倍角の公式、相互関係の式などを利用して証明することができます:

sinθ=2t/(1+t^2),
cosθ=(1-t^2)/(1+t^2),
tanθ=2t/(1-t^2)


sinθ=2t/(1+t^2) の証明:

θ=2・(θ/2)  ですから:
sinθ=sin{ 2・(θ/2) }

ここで、2倍角の公式sin2α=sinαcosαを利用すると:
sin 2・(θ/2) = 2sin(θ/2) cos(θ/2)

ここで、{cos(θ/2)} /{cos(θ/2) } (=1) を掛けると:

となります。

ここで、まず、tanα=sinα/cosαです。

また、1+tan^2α=1/cos^2αより、両辺の逆数を考え、1/(1+tan^2α)=cos^2α です。

これより:

となります。これで証明ができました。


cosθ=(1-t^2)/(1+t^2) の証明:

cosθ=cos{ 2・(θ/2) } と変形できます。

ここで、2倍角の公式 cos2α=2cos^2α-1 より:
2cos^2(θ/2)ー1
です。

先ほど見た、1/(1+tan^2α)=cos^2α より:
{2/(1+t^2)}-1
=(1-t^2)/(1+t^2) 
となり、証明ができました。


tanθ=2t/(1-t^2) の証明:

tanα=sinα/cosα に、
sinθ=2t/(1+t^2),
cosθ=(1-t^2)/(1+t^2)
を代入して整理すると、

tanθ=2t/(1-t^2)
となります。
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