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円のもう1つの媒介変数表示

円のもう1つの媒介変数表示

(参考:東京書籍 『数学Ⅲ』)

円は、θを用いた媒介変数表示:
x=a cosθ,
y=a sinθ
と表すことが出来るということはすでに学びました。

この記事では、別の媒介変数を用いた円の媒介変数表示を見てみます。


定点を通る直線を利用して、円を媒介変数表示することを考えます。

円を x^2+y^2=1、直線をy=t(x+1) (すなわち y=tx+t)  とします。

これらの2つの交点のうち、(-1,0)ではない方を、点P(x, y) とします:


y=t(x+1) を x^2+y^2=1 に代入して整理していくと:
x^2+ {t(x+1)}^2 =1,
x^2-1 +t^2 (x+1)^2 =0,
(x+1)(x-1)+t^2 (x+1)^2 =0,

2つの項ともx+1を含んでいるので、これでくくります:
(x+1) {(x-1)+t^2(x+1)} = 0,
(x+1) (x-1+t^2x+t^2) = 0,
(x+1) {(1+t^2)x - (1-t^2)} = 0,

よって、(x+1)=0、または、{(1+t^2)x - (1-t^2)}=0 と言えますが、点Pは(-1, 0) とは異なる点という条件なので、x≠-1 です。すなわち、(x+1)=0 となることはありません。

よって:
(1+t^2)x - (1-t^2) = 0
です。

これより:
x=(1-t^2)/(1+t^2),

これを、y=tx+1 に代入して整理することにより:
y=2t/(1+t^2)
となります。

すなわち、これが、tを媒介変数とする円x^2+y^2=1の媒介変数表示になります。ただし、この媒介変数表示では点(-1, 0)は表すことができませんので、この点を除きます:



2つの媒介変数tとθの関係を見ていきます。

点Pは、円上にありますから、媒介変数θを用いて:
x=cosθ,
y=sinθ
と表すことができます。

また、図において、∠PAOは、中心角と円周角の関係から、θ/2 になります:


この直線はy=tx+t というものですが、直線とx軸の正の向きがなす角の正接(タンジェント)は、その直線の傾きと一致しますから:
t=tanθ/2
が成り立ちます。

また:
x= (1-t^2)/(1+t^2) =cosθ,
y= 2t/(1+t^2) =sinθ
も成り立ちます(xとyを別の表現をしているだけだからです)。


上では、具体例として、x^2+y^2=1 という円を考えましたが、一般化してx^2+y^2=a として考えると、tとθの間には:

という関係があります。

ただし、tを媒介変数としたとき、表せない点が存在することは注意してください。

この関係性は、数Ⅲの微積分(例えば置換積分)で利用されることがあります。
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