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離心率がeである2次曲線の極方程式

離心率がeである2次曲線の極方程式

原点Oを1つの焦点にもつ2次曲線の準線をlとします。lの方程式は、x=-d とします。

極座標としては、原点Oを極、x軸の正の部分を始線とします。

この2次曲線上の任意の点Pの極座標をP(r, θ)とします。点Pからlには垂線PHを下ろします。



離心率の定義より:
PO/PH = e
です。

両辺にPHを掛けると:
PO = e PH  …①
です。

ここで:
PO=r,
PH=d+rcosθ
ですので、これらを①に代入します。

r= e(d+rcosθ),
r=ed+ercosθ,
r-ercosθ = ed,
r(1-ecosθ)=ed,
r=ed/(1-e cosθ)

となります。よって、この r=ed/(1-e cosθ) というのが2次曲線の極方程式です。


上の極方程式は:

0<e<1  ⇒ 極Oを焦点の1つとする楕円
e=1 ⇒ 極Oを焦点、lを準線とする放物線
1<e ⇒ 極Oを焦点の1つとする双曲線

を表します。
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