放物線・楕円・双曲線の平行移動の例題

放物線・楕円・双曲線の平行移動の例題

次の方程式はどのような図形を表すか。

(1) y^2-8x+2y+17=0
(2) 4x^2+9y^2-8x+54y+49=0
(3) 3x^2-7y^2-6x-28y-4=0


[解答の指針]

具体的な解答の前に、少し説明をします。(1)は、yについて2次式、xについては1次式ですので(xとyの次数が違っているので)、「放物線」ではないか、と見当をつけることができます。

(2)と(3)は、xについてもyについても2次式なので、「楕円」または「双曲線」(または、数Ⅱで学んだように「円」)ではないか、と見当をつけることができます。

「放物線」・「楕円」・「双曲線」の方程式の形になることを目指して式変形をしていきます。


[解答]

(1)

項の順番を変えると:
y^2+2y-8x+17=0

よって:
(y+1)^2-1-8x+17=0

xの項と定数は右辺に移項して:
(y+1)^2 = 8x-16

右辺は8でくくり:
(y+1)^2 = 8(x-2)
となります。

この式は、放物線 y^2=8x のyをy+1に、xをx-2に置き換えたものになっています。すなわち、このグラフは、y^2=8x をx軸方向に+2、y軸方向に-1だけ平行移動したものになります。

y^2=8x は、焦点(2, 0) , 準線x=-2 ですから、(y+1)^2 = 8(x-2) は焦点(4, -1)、 準線x=0 (もとのグラフの準線をx軸方向に+2だけ平行移動したもの)です。


(2)

4x^2+9y^2-8x+54y+49=0 は次のように変形していけます:
4(x^2-2x)+9(y^2+6y)+49=0,
4(x-1)^2+9(y+3)^2=36

この両辺を36で割ると:
(x-1)^2/ 9 + (y+3)^2/ 4 =1
となります。

これは、楕円 x^2/ 9 + y^2/4 =1 の、xをx-1に、yをy+3に置き換えたものになっています。すなわち、このグラフは、x^2/ 9 + y^2/4 =1 をx軸方向に+1、y軸方向に-3だけ平行移動したものになります。

x^2/ 9 + y^2/4 =1 の焦点は、(√13, 0)、(-√13, 0) ですので、(x-1)^2/ 9 + (y+3)^2/ 4 =1 の焦点は、(1+√13, -3)、(1-√13, -3) になります。


(3)

3x^2-7y^2-6x-28y-4=0 を変形すると:
(x-1)^2/ 7 - (y+2)^2/ 3 =-1
となります。

これは、双曲線 x^2/ 7 - y^2/ 3 =-1 のxをx-1に、yをy+2に置き換えたものになっています。すなわち、このグラフは、x^2/ 7 - y^2/ 3 =-1 をx軸方向に+1、y軸方向に-2だけ平行移動したものになっています。

x^2/ 7 - y^2/ 3 =-1 の漸近線は、y=(√21/7)x, y=-(√21/7) ですので、(x-1)^2/ 7 - (y+2)^2/ 3 =-1 の漸近線は、これをx軸方向に+1、y軸方向に-2だけ平行移動 すればよいです。

すなわち:
y=(√21/7)x+ (14-√21)/7
y=-(√21/7)x-(14-√21)/7
です。
関連記事

コメントの投稿

非公開コメント

main_line
main_line
プロフィール

batmitzvah

Author:batmitzvah

最新記事
最新コメント
最新トラックバック
月別アーカイブ
カテゴリ
カウンター
検索フォーム
RSSリンクの表示
リンク
QRコード
QR