双曲線に関する例題

双曲線に関する例題

[例題1]
次の双曲線の頂点と焦点を求めなさい。

(1) x^2/7 - y^2/4 = 1
(2) x^2/16 - y^2/9 = -1


[解答]

(1) 7=(√7)^2 より、頂点は、(√7, 0)、(-√7, 0) です。 また、√(7+4)=√11 ですから、焦点は(√11, 0)、(-√11, 0) です。

(2) 9=3^2 より、頂点は、(0, 3)、(0, -3) です。 また、√(16+9)=5 ですから、焦点は、(0, √5)、(0, -√5) です。


[例題2]

2点(6, 0)、(-6, 0) を焦点とし、2点からの距離の差が8 であるような双曲線の方程式を求めなさい。


[解答]

求める方程式を x^2/a^2 - y^2/b^2 =1 (a>0、b>0) とおきます。

問題文より:
2a =8,
√(a^2+b^2)=6
が成り立ちます。

よって、a=4 です。

そして:
√(16+b^2)=√36
より、
16+b^2=36
よって、
b^2 = 20 (bは、√20=2√5)
です。

以上より:
x^2/16 - y^2/20 = 1
が求めたい方程式です。


[例題3]

次の双曲線について、漸近線を求めなさい。

x^2/25 - y^2/9 = 1


[解答]

25=5^2, 9=3^2 ですから、求める漸近線は:
y=(3/5)x,
y=-(3/5)x
の2つです。
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